在讲解SVD分解之前，我们先看一下特征值分解（EVD），这里我们假设一个实对称
矩阵（
），可将其分为：
这里的矩阵
为正交矩阵（
为单位阵），数值
对应特征值，并且每个特征值对应一个特征向量
。特征值和特征向量具有的性质为：
上面的矩阵能通过特征分解，是因为矩阵为是实对称矩阵。但是我们实际应用过程中，很多矩阵并不一定满足此性质，并且很有可能不是方阵（
，矩阵中行列数不相等）。在这种情况下，要进行分解就需要引入一个概念奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）。下面来看一下SVD的定义：
对于矩阵
，可以将其分解为：
这里的
均为正交矩阵（
），一般称
为左奇异矩阵，
为右奇异矩阵。
仅在主对角线上有值，其它位置处元素均为0。
知道了什么是SVD，下面聊一聊在实际应用中该如何求解呢？
上面求解公式之所以能够进一步化简，是因为
均为正交矩阵。还需要说明的是
的维度是不相同的，
方阵，
方阵。
虽然方阵
的维度不同，但是它们主对角线上的奇异值是相同的。通过上面的式子，我们也很轻易的得到
的对应值。
在讲解之前我们还是要先了解一下，这个有什么作用？毕竟如果不是很重要，我们就不要学啦。其实，极线几何在SLAM中应用性是非常大。它可以根据相邻图像对应的特征点，来求解出相机之间的位姿变换。好啦，知道了有什么作用，我们来看一下极线几何中的一些定义。这里主要包括：极点、极线、基线、极平面。
我们以上面的图为例，来说明一下上述几个定义表示的什么。上图中
表示图像
处的光心，
表示图像
处的光心。
为三维空间中的一点，从每张图像光心与空间点连线，会与图像平面相交于一点
。其中，相交点
则就定义为极点。两张图像光心
的连线，构成基线。基线会与两张图像平面相交，得到交点
。在一个图像平面上，极点与交点的连线，构成极线
。两个光心与空间点构成一个平面
，此平面称为极平面。
好啦，知道了相关定义，下面我们就来看看，如何将其转化数学形式并进行求解。其实，这里的公式推导都是按照《SLAM十四讲》里面来的，只不过这里加入了一些自己的理解。这里我们假设图像
相机位置为世界起始坐标点，对应空间中一点
，相机的内参矩阵为
。相机
到相机
可由旋转矩阵
和平移矩阵
表示。根据相机成像模型（这块可参考：相机成像模型），可得变换矩阵：
这里
表示尺度因子，我们可以使用齐次坐标来表示，消去尺度因子得到：
在这里需要插一句，就是说明一下什么是齐次坐标，以及它有什么作用（我这里只是简单说，详细请看：为什么要引入齐次坐标，齐次坐标的意义）。齐次坐标最直观的定义就是：用N+1维来代表N维坐标。对应表示为：
使用齐次坐标，可以表示平行线在透视空间的无穷远处交于一点。在欧氏空间这将变得没有意义，所以欧式坐标不能表示。齐次坐标可以表示无穷远处的点， 齐次坐标为
，而笛卡尔坐标表示为
接着上面继续讲，这里假设
为像素点归一化平面上的坐标（其实就是，三维空间点的坐标都除以
：什么是归一化的平面坐标）。这里补充一下，就是相机坐标系下，三维点坐标同时除以
值：
表示的方程带入到
表示的方程，可以得到：
将上面方程同时乘以矩阵
的外积，这里使用
来表示（这里是《SLAM十四讲》前几章讲解的内容）。我们都知道向量叉乘的数值表示为：
，其中
表示向量
和向量
可以得到：
然后，上面等式同时乘以
得到：
因为矩阵满足结合律，所以我们可以先计算
，我们知道得到的向量方向会与向量x_{2} 垂直，所以
。因此，可以得到等式：
表示的等式带入到上述方程得到：
我们在上面这个矩阵就可以得到两个概念一个为基础矩阵
，另外一个为本质矩阵
。它们之间最本质的区别在于，一个加入了内参矩阵
，另外一个没有加入。因此可以得到最终矩阵为：
本质矩阵和基础矩阵就相差了一个内参矩阵。所以这里选择本质矩阵来讲解求解的过程。在求解之前我们需要了解一下，本质矩阵
具有的三个性质：
四个解对应分别对应的空间点位置以及投影点位置。我们知道深度值肯定为正值所以
就不考虑啦，
不满足相机的成像模式，所以我们会根据空间位置和投影位置从四个解里面选择出一个正解。
在这里还需要指出一点，我们在前面已经说过啦。本质矩阵的奇异值为
，但是由于求解过程中的误差，我们往往求解出来的奇异值为
。这种情况下，该如何解决呢。其实，我们可以转化为求最优解问题：
我们假定
。所以可以将最小化问题转化为：
求解上述方程可以得到
，所以在实际应用中，我们可以得到奇异值
知道了极线几何，再看单应性矩阵，那就太简单啦。我们还是先讨论一下，什么时候需要使用单应性矩阵。对于场景中特征特征点几乎全都分布在同一平面上（飞机俯视拍摄的场景等），这时候使用单应性矩阵来估计相机的运行最为合适。
知道了上面应用的背景，下面我们来看看它对应的数学推导，这个主要就涉及一个法向量表示平面方程，其它的就没有啥啦：
上面为构建的特征点所落在平面对应的平面方程。后面就是化简带入：
我们使用
表示
，因此
。下面在求解的时候，就是我们在SLAM中经常使用到的DLT（Direct Linear Transform）求解。我们可以把等式转化为（和上面本质矩阵求解相似）：
在实际应用中，往往会乘以一个非零因子使
，然后在去除这个非零因子，在这里我们写详细一点：
我们可以得到对应解为：
在进行化简，分别除以
得到：
化简上述方程可以得到：
也就是一组对应点可以得到两个方程组，我们需要四组点，来求解8个未知参数，因为我们将
。所以方程为：
。其实主要还是《SLAM十四讲》内容，只不过我在此基础上加入了一些自己的理解和说明而已。了解更多关于《计算机视觉与图形学》相关知识，请关注公众号：
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代码/** * @brief 从特征点匹配求homography（normalized DLT） * * @param vP1 归一化后的点, in reference frame * @param vP2 归一化后的点, in current frame * @return 单应矩阵 * @see Multiple View Geometry
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